Publicado por NAG el 6/12/2025

Optimización no convexa y estocástica en 2025: Los motores de la inteligencia del mundo real

1. La forma de la complejidad en los sistemas modernos

Históricamente, la optimización se limitaba en gran medida a problemas convexos bien estructurados, entornos donde las garantías teóricas y la eficiencia algorítmica se alineaban perfectamente. Esto tenía sentido: los algoritmos para programas lineales y convexos a gran escala, capaces de manejar millones de variables y restricciones, han madurado durante décadas. Por el contrario, los problemas no convexos, incluidos los que involucran estructuras discretas o combinatorias, seguían siendo computacionalmente intratables a escala. Pero para 2025, el panorama ha cambiado. Los sistemas comerciales modernos se definen cada vez más por la complejidad, la escala y la incertidumbre. A medida que las industrias pasan de marcos deterministas basados en reglas a arquitecturas basadas en datos infundidas con aleatoriedad, dos pilares metodológicos han surgido como esenciales: la no convexidad y la estocasticidad. Estos forman la base matemática para una optimización robusta y adaptativa en el mundo real.

• La no convexidad se refiere a problemas donde la función objetivo o las restricciones presentan múltiples mínimos locales, mesetas planas o discontinuidades. Resolver estos problemas requiere escapar de los óptimos locales y explorar globalmente.
• La estocasticidad implica modelar explícitamente la aleatoriedad. Esto es crucial cuando los datos, las entradas o los entornos son ruidosos, incompletos o cambiantes, condiciones que prevalecen en casi todos los contextos operativos a gran escala. La combinación de optimización y procesos estocásticos es una de las más fructíferas en las matemáticas aplicadas.

Estos dos paradigmas, utilidados solos o juntos, forman la columna vertebral computacional de los sistemas modernos de toma de decisiones.

2. Donde importa: Seis frentes de transformación

2.1. IA y aprendizaje automático

El aprendizaje profundo, la base de la IA moderna, implica inherentemente entornos de optimización no convexos. Entrenar una red neuronal implica minimizar una función de pérdida de alta dimensión, plagada de puntos de silla y mínimos locales. Los métodos basados en gradientes, como el descenso de gradiente estocástico (SGD), funcionan bien en la práctica, pero métodos más recientes, como las estrategias evolutivas y la optimización bayesiana, están ganando terreno para el ajuste de modelos y la búsqueda de hiperparámetros.

Además, la búsqueda de arquitectura neuronal (NAS), donde se aprende la arquitectura del modelo, requiere resolver un problema combinatorio, no convexo y estocástico que combina aprendizaje y optimización. Los algoritmos de aprendizaje por refuerzo también dependen en gran medida de la estocasticidad para explorar espacios de estados y mejorar las políticas a lo largo del tiempo.

2.2. Sistemas distribuidos

Los entornos informáticos distribuidos modernos, desde el aprendizaje federado en dispositivos de borde hasta los clústeres masivos en la nube, se enfrentan a condiciones dinámicas que dificultan la optimización. En el aprendizaje federado, cada dispositivo cliente tiene su propia distribución de datos, lo que genera pérdidas locales no idénticas. El modelo global debe minimizar una suma ponderada de estos objetivos heterogéneos:

$$\underset{w}{min}\sum _{i=1}^N{p}_i{\mathcal{L}}_i(w)$$

dónde $p_i$ refleja la importancia del cliente o el volumen de datos. En los sistemas en la nube, las tareas deben programarse para optimizar la latencia, el coste y el uso de recursos, a menudo con cargas de trabajo inciertas y disponibilidad de recursos cambiante. Estas condiciones introducen naturalmente costes no convexos y entradas estocásticas.

2.3. Energía y sostenibilidad

Los sistemas eléctricos son cada vez más complejos e integran fuentes intermitentes como la eólica y la solar. La optimización en este ámbito suele implicar problemas de compromiso de unidades no convexas y pronósticos estocásticos de la oferta y la demanda. Los operadores deben garantizar el equilibrio y la estabilidad, minimizando al mismo tiempo las emisiones de carbono y los costes.

2.4. Gestión de costes de la nube

La computación en la nube introduce diversos modelos de precios:

• Bajo demanda: coste lineal
• Instancias reservadas: tarifa fija para compromiso a largo plazo
• Precios al contado: fluctúan con la oferta y la demanda

El panorama de costos totales no es uniforme y varía con el tiempo. Los sistemas FinOps basados ​​en IA optimizan las previsiones aleatorias de la demanda futura, aprovechando las condiciones del mercado y garantizando la fiabilidad.

2.5. Cadenas de suministro y logística

Las cadenas de suministro y las redes logísticas modernas operan en entornos altamente dinámicos, condicionados por interrupciones en tiempo real, variabilidad de la demanda, plazos de entrega inciertos y complejas restricciones geopolíticas. Los enfoques de optimización tradicionales, como los algoritmos de ruta más corta o los programas lineales deterministas, resultan insuficientes cuando las funciones de costes son no lineales, la información es incompleta o las acciones deben adaptarse secuencialmente a lo largo del tiempo.

Consideremos un ejemplo canónico: la planificación de movimientos para sistemas logísticos autónomos, como drones, vehículos de reparto autónomos o agentes robóticos de almacén. Estos sistemas deben determinar una trayectoria $\{x_t{\}}_{t=1}^T$ durante un horizonte de planificación , donde cada $x_t\in {\mathbb{R}}^d$ representa el estado del sistema (por ejemplo, ubicación, velocidad) en el paso de tiempo $t$. Un problema general de optimización de trayectoria se puede formular como:

Donde:

• $c(x_t,x_{t+1})$ es una función de coste que captura el tiempo de viaje, el consumo de energía o la exposición al riesgo entre estados consecutivos,
• ${\mathcal{F}}_t\subset {\mathbb{R}}^d$ denota la región factible que varía en el tiempo, teniendo en cuenta las condiciones del tráfico, las zonas de exclusión aérea, las restricciones del terreno o los límites reglamentarios,
• Las restricciones también pueden incluir prevención dinámica de colisiones y límites de uso de recursos (pr ejemplo, niveles de batería).

Esta formulación es inherentemente no convexa, debido a:

• Dinámica no lineal o restricciones cinemáticas (por ejemplo, radios de giro del vehículo, límites de aceleración),
• Estructuras de costes fragmentadas o discontinuas (por ejemplo, precios de congestión o umbrales de peaje),
• Evitación de obstáculos modelada mediante exclusiones espaciales no convexas.

Debido a la presencia de incertidumbre, factores como tiempos de viaje estocásticos, actualizaciones meteorológicas en tiempo real o picos de demanda inesperados conducen a:

• Formulaciones de planificación estocástica, donde el costo o la disponibilidad del viaje dependen del escenario,
• Control en línea o de horizonte regresivo, actualizando continuamente los planes basados en sensores en vivo y datos del mercado.

En la práctica, los métodos de solución incluyen:

• Planificadores de movimiento basados en muestreo (por ejemplo, RRT*, PRM) para búsqueda de viabilidad de alta dimensión,
• Programación no lineal de enteros mixtos (MINLP) para incorporar lógica de control discreta (por ejemplo, selección de segmento de ruta),
• Aprendizaje por refuerzo para aprender políticas adaptativas en condiciones de incertidumbre.
• Búsqueda heurística o metaheurística (por ejemplo, recocido simulado, algoritmos genéticos) para la generación de rutas en tiempo real.

A medida que las infraestructuras logísticas escalan y aumenta la autonomía, los marcos de optimización no convexos y estocásticos se vuelven indispensables para permitir una toma de decisiones resiliente, eficiente y en tiempo real en las cadenas de suministro globales.

2.6. Métodos de optimización modernos

Para abordar estos desafíos, los enfoques híbridos y heurísticos son comunes:

• Las metaheurísticas como los algoritmos genéticos y la optimización por enjambre de partículas exploran espacios de soluciones robustos.
• Los modelos de aprendizaje de refuerzo plantean los problemas como decisiones secuenciales bajo incertidumbre.
• La optimización combinatoria neuronal aprende a resolver problemas de optimización utilizando redes neuronales.

Estos métodos evitan los supuestos de convexidad o determinismo, lo que permite una optimización robusta en condiciones de complejidad del mundo real.

3. Caso práctico: Optimización de cartera moderna

3.1. Definiciones y configuración

Sea:

• $\mathbf{w}\in {\mathbb{R}}^n$ el vector de ponderación de la cartera, donde cada $w_i$ es la fracción de capital asignada al activo $i$
• $R_s\in {\mathbb{R}}^n$ es el vector de retorno de los activos en el escenario $s$
• $p_s\in [0,1]$ es la probabilidad asociada con el escenario $s$, donde $\sum _s{p}_s=1$
• $L(\mathbf{w},s)$ es la pérdida de cartera en el escenario $s$, definido como el rendimiento negativo

3.2. Limitaciones de los modelos clásicos

La optimización de cartera tradicional utiliza el marco media-varianza

$$\underset{\mathbf{w}}{min}{\mathbf{w}}^{\mathrm{\top }}\mathrm{\Sigma }\mathbf{w}\text{sujeto a }{\mathbf{w}}^{\mathrm{\top }}\mu \ge R,{\mathbf{w}}^{\mathrm{\top }}\mathbf{1}=1,\mathbf{w}\ge 0$$

donde:

• $\mu \in {\mathbb{R}}^n$ es el vector de rendimientos esperados
• $\mathrm{\Sigma }\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$ es la matriz de covarianza de los retornos
• $R$ es el rendimiento mínimo requerido de la cartera

Esta formulación supone rendimientos distribuidos normalmente, convexidad y restricciones lineales, que rara vez se cumplen en los mercados reales, donde los rendimientos suelen seguir distribuciones leptocúrticas y asimétricas.

3.3. Riesgo de cola y optimización CVaR

Para gestionar los riesgos asimétricos y de cola pesada, definimos

$$L(\mathbf{w},s)=-{\mathbf{w}}^{\mathrm{\top }}{R}_s$$

y minimizamos el Valor de Riesgo Condicional (CVaR) en el nivel $\alpha \in (0,1)$

$$\underset{\mathit{w},\nu ,{\xi }_s}{min}\nu +\frac{1}{1–\alpha }\sum _s{p}_s{\xi }_s$$

$$\text{sujeto a }{\xi }_s\ge L(\mathit{w},s)–\nu ,{\xi }_s\ge 0\mathrm{\forall }s$$

donde:

• $\nu \in \mathbb{R}$ es una variable auxiliar que representa el Valor en Riesgo (VaR), es decir, el cuartil
• ${\xi }_s\in {\mathbb{R}}_{\ge 0}$ captura el exceso de pérdida más allá de $\nu$ en cada escenario

3.4. Restricciones no convexas y realismo del mercado

La región factible del mundo real incluye:

• Costes de transacción: Modelados como funciones lineales o no lineales por partes según el volumen comercial
• Restricciones de liquidez: $w_i\le {\text{volumen máximo negociable}}_i$
• Regulatorio/ESG: Límites de exposición sectorial, puntuaciones de carbono o zonas de exclusión

Estas restricciones a menudo introducen no convexidades en el problema.

3.5. Resolvedores, algoritmos e implementación

Los procesos de optimización prácticos suelen combinar estrategias globales y locales (algoritmos genéticos, recocido simulado, aprendizaje por refuerzo y métodos híbridos) para abordar entornos complejos y no convexos. Las instituciones financieras implementan estas soluciones mediante computación en la nube para el paralelismo, GPU para la aceleración de Monte Carlo, fuentes de datos en tiempo real para la reoptimización adaptativa y rigurosas pruebas de estrés para garantizar su robustez.

4. Conclusión

La optimización actual refleja la complejidad de los sistemas que gobierna. La no convexidad nos permite modelar la naturaleza no lineal, sujeta a restricciones e irregular de los sistemas reales, mientras que los métodos estocásticos incorporan la aleatoriedad como parte intrínseca de la toma de decisiones. Juntos, forman un marco unificado para operaciones adaptativas, escalables y robustas en IA, finanzas, energía y logística. En un mundo cada vez más marcado por la incertidumbre y la escala, estas herramientas ya no son opcionales: son fundamentales.

Referencias

Shapiro, A., Dentcheva, D., y Ruszczynski, A. (2014). Lectures on Stochastic Programming: Modeling and Theory (2nd ed.). Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM). Una referencia completa sobre programación estocástica, que incluye CVaR, modelado de escenarios y fundamentos teóricos.

Boyd, S., y Vandenberghe, L. (2004). Convex Optimization. Cambridge University Press. El texto fundacional sobre optimización convexa, frecuentemente citado para destacar dónde fallan los supuestos convexos.