Cómo mejorar los modelos realizados con COMSOL Multiphysics

Optimization Module es un paquete complementario de COMSOL Multiphysics que puede utilizarse con cualquiera de los módulos de COMSOL Multiphysics. El objetivo de este módulo, como el de cualquier proceso de optimización, es el de optimizar un diseño mediante la maximización/minimización de una función objetivo, variando las variables de diseño sujetas a ciertas restricciones.

Por tanto, el primer paso es crear un modelo de COMSOL Multiphysics de un producto o proceso. Siempre va a ser deseable mejorar su diseño. Para ello definiremos una función objetivo (factor de mérito que describe el sistema). Definiremos también un conjunto de variables de diseño, que serán las entradas al modelo que se desean cambiar para mejorar el diseño. A continuación se definen un conjunto de restricciones, límites en las variables de diseño, o condiciones de funcionamiento que tienen que satisfacerse. Finalmente, se utiliza los resolvedores de Optimization Module para mejorar el diseño cambiando las variables de diseño, a la vez que se satisfacen las restricciones.

Optimization Module es una interfaz general para definir funciones objetivo, especificar variables de diseño, y ajustar esas restricciones. Cualquier entrada del modelo, ya sean dimensiones geométricas, formas de piezas, propiedades de los materiales o distribución de materiales, puede tratarse como una variable de diseño, y cualquier salida del modelo puede utilizarse para definir la función objetivo. Puede ser utilizada en toda la familia de productos de COMSOL Multiphysics y puede combinarse con los productos LiveLink™ para optimizar una dimensión geométrica en un programa CAD de tercera parte.

Dos tipos de aproximaciones: sin derivadas y basados en el gradiente

Optimization Module dispone de algoritmos para dos técnicas diferentes de optimización, una basada en el gradiente y otra libre de derivadas. La optimización libre de derivadas es útil cuando las funciones objetivo y restricciones son discontinuas o no tienen derivadas analíticas. Este sería el caso, por ejemplo, de cuando se desea minimizar la tensión de pico de una pieza cambiando sus dimensiones. Sin embargo, cuando las dimensiones cambian, la posición de las tensiones de pico pueden desplazarse de un punto a otro. Esta función objetivo no es analítica y por tanto requiere un planteamiento sin derivada. En el módulo Optimization Module se dispone de cuatro de estos métodos: son los métodos Bound Optimization by Quadratic Approximation (BOBYQA), Nelder-Mead, Búsqueda coordinada y Monte Carlo.

Optimization Module calculará un gradiente aproximado para hacer evolucionar las variables del diseño hacia un diseño mejorado. Se puede desear minimizar la masa total de la pieza lo que se puede hacer también utilizando este planteamiento. La masa de la pieza normalmente es diferenciable directamente respecto a las dimensiones de la pieza, permitiendo el uso de una aproximación basada en el gradiente. Optimization Module calculará la derivada analítica exacta de las funciones objetivo y restricciones utilizando el método adjunto del optimizador SNOPT, desarrollado por Philip E. Gill de la Universidad de California San Diego y Walter Murray y Michael A. Saunders de la Universidad de Stanford, para mejorar las variables de diseño. Un segundo algoritmo basado en el gradiente es el resolvedor Levenberg-Marquardt. Se puede utilizar este resolvedor cuando la función objetivo es del tipo mínimos cuadrados, típicamente utilizado para aplicaciones de estimación de parámetros y ajuste de curvas. Un tercer método, el método de asíntotas móviles (Method of Moving Asymptotes o MMA), es un resolvedor de optimización basado en el gradiente escrito por el Professor K. Svanberg del Royal Institute of Technology de Estocolmo, Suecia. Se diseñó con la optimización de la topología en mente. El método recibe el nombre de GCMMA en la literatura y está disponible en el módulo Optimization Module bajo el nombre MMA.

La ventaja del método basado en el gradiente es que puede tratar problemas que involucren cientos, e incluso miles, de variables de diseño con muy poco incremento del coste computacional a medida que el número de variables de diseño crece. El método Adjunto simultáneamente calcula todas las derivadas analíticas, mientras que el método sin derivadas tiene que aproximar cada derivada, y tomará más tiempo a medida que el número de variables de diseño crecen. Los métodos basados en el gradiente también pueden incluir funciones de restricción más complejas.

La ventaja del método sin derivadas es su simplicidad. No requiere encontrar una función objetivo diferenciable y requiere mucho menos interacción con el usuario para su configuración. Sin embargo, debido a los costes computacionales, los métodos sin derivadas son los más atractivos cuando el número de variables de diseño es aproximadamente menor o igual a 10. En la práctica, esto cubre un amplio rango de problemas prácticos de optimización de ingeniería.

La Optimización de Parámetros involucra optimizar cualquier entrada escalar al modelo, como los niveles de flujo y magnitudes de carga. Usualmente es el tipo de optimización más fácil y puede realizarse con cualquier técnica. La Estimación de Parámetros es más compleja, e involucra la correlación de un modelo de COMSOL con datos experimentales. Típicamente, el objetivo es utilizar un modelo para estimar las propiedades del material utilizado.

Optimization Module también permite realizar optimización de las dimensiones, formas y topología del modelo de COMSOL

Los métodos de optimización también pueden clasificarse por los tipos de variables que se optimizan. Tanto la optimización de dimensiones, como de formas y topología se realizan en el módulo Optimization Module, y cada una tiene su propio sitio en el proceso de diseño.

La optimización dimensional involucra la definición de variables de diseño que pueden llevarse directamente a fabricación. Algunas variables de diseño típicas pueden ser el tamaño de orificios, o longitud, groso y altura de miembros estructurales. La optimización dimensional se utiliza habitualmente como el último paso en el proceso de diseño y se realiza una vez que el diseño se ha fijado más o menos en términos de la forma global. Usualmente aquí se utiliza un método sin derivadas.

La optimización de forma normalmente ocurre en etapas previas del proceso de diseño, e involucra una alteración más libre de la forma del objeto. Usualmente se requiere más cuidado para escoger las variables de diseño, ya que el objetivo es mejorar la forma sin sobre restringir el diseño. Si se puede encontrar una función objetivo analítica se prefiere utilizar un método basado en gradiente.

La optimización de topología se utiliza en etapas muy tempranas del proceso de diseño, normalmente en la fase conceptual. La optimización de topología trata la distribución de material como una variable de diseño e inserta o elimina estructuras para mejorara la función objetivo. Debido al gran número de variables de diseño únicamente es práctica la optimización basada en gradiente.

La imagen de la cabecera muestra la optimización de forma de una antena de bocina: Una bocina acústica con un lado inicialmente recto es optimizada para mejorar el nivel de presión sonora de campo lejano. Se utiliza optimización de forma para llegar a las corrugaciones onduladas de la bocina. Imagen cedida por COMSOL y realizada con COMSOL Multiphysics®